确定性分布式顶点染色：更简单、更快且不依赖网络分解

我们提出了一种简单的确定性分布式算法，可在 $O(\log^2 \Delta \cdot \log n)$ 轮内计算出 $(\Delta+1)$-顶点染色。该算法可使用 $O(\log n)$-比特消息实现。该算法也可推广到更一般的 $(degree+1)$-列表染色问题。自 1980 年代以来，为 $(\Delta+1)$-顶点染色获得多对数时间确定性算法一直是分布式图算法领域的核心开放问题，直到 Rozho\v{n} 和 Ghaffari [STOC'20] 近期提出的网络分解算法才得以解决。当前最优结果基于他们分解算法的改进变体，得到了 $(\Delta+1)$-顶点染色的 $O(\log^5 n)$ 轮算法。我们的染色算法完全不同，且显著更简单、更快。它通过逐步舍入某种分数染色分配直至达到整数染色分配，以直接方式解决染色问题，而不使用网络分解。此外，经由 Chang、Li 和 Pettie [STOC'18] 的方法，这一改进的确定性算法也带来了 $(\Delta+1)$-染色随机算法复杂度的改进，现达到 $O(\log^3\log n)$ 轮的上界。作为进一步应用，我们还提供了以下顶点染色问题变体的更快确定性分布式算法。在 Arboricity（树 Arboricity）为 $a$ 的图中，我们证明可在 $O(\log^3 a\cdot\log n)$ 轮内计算出 $(2+\epsilon)a$-顶点染色。我们还证明，对于 $\Delta\geq 3$，可在 $O(\log^2 \Delta\cdot\log^2 n)$ 轮内计算出 $\Delta$-可染色图 $G$ 的 $\Delta$-染色。