亚线性(关于 $\Delta$)轮次的局部迭代式 $(\Delta+1)$-着色

分布式图着色是分布式计算中被最广泛研究的问题之一。有一类称为局部迭代着色算法的经典分布式图着色算法，最早由[Szegedy and Vishwanathan, STOC'93]的开创性工作形式化。在此类算法中，每个顶点根据其局部邻域当前着色的预定函数迭代更新自身颜色。由于其框架的简单与自然，局部迭代着色算法在理论与实践上均具有重要意义。本文给出一种运行时间为 $O(\Delta^{3/4}\log\Delta)+\log^*n$ 的局部迭代式 $(\Delta+1)$-着色算法。这是首个运行时间关于 $\Delta$ 亚线性的局部迭代式 $(\Delta+1)$-着色算法，并回答了近期突破[Barenboim, Elkin, and Goldberg, JACM'21]中提出的主要开放问题。我们算法的一个关键组成部分是一个局部迭代过程，该过程在 $o(\Delta)$ 时间内将 $O(\Delta^2)$-着色转换为 $(\Delta+O(\Delta^{3/4}\log\Delta))$-着色。在此过程内，我们基于编码(arb)缺陷着色的特殊正常着色工作，并以局部迭代方式将所用颜色数二次减少。作为我们结果的一个主要应用，我们还给出了一个自稳定分布式 $(\Delta+1)$-着色算法，其稳定时间为 $O(\Delta^{3/4}\log\Delta)+\log^*n$。据我们所知，这是首个稳定时间关于 $\Delta$ 亚线性的 $(\Delta+1)$-着色自稳定算法。