图的局部与全局可着色性

本文证明：对于任意固定的 $c \geq 3$ 和 $r$，在 $n$ 个顶点的图中，若每个半径至多为 $r$ 的子图都是 $c$-可着色的，则该图的最大可能色数为 $\tilde{\Theta}\left(n ^ {\frac{1}{r+1}} \right)$（即 $n^\frac{1}{r+1}$ 乘以一个关于 $n$ 的多重对数因子）。该证明基于对随机图的局部与全局可着色性的细致分析，并特别蕴含了：具有适当边概率的随机 $n$-顶点图，其色数通常如上所述，但其中绝大多数半径为 $r$ 的球都是 $2$-退化的。