具有高色数但局部色数较小的图实例

Kierstead、Szemerédi 和 Trotter 表明，若一个图的顶点数至多为 $\lfloor r/(2n)\rfloor^n$，且其中每个半径为 $r$ 的球均为 $c$-可着色的，则该图的色数至多为 $n(c-1)+1$。我们证明了该估计在 $r$ 上是紧的。具体而言，对于任意 $n$、$r$ 和 $c$，我们构造了一个包含 $O((2rc)^{n-1}c)$ 个顶点的图 $G$，使得 $\chi(G)\geq n(c-1)+1$，尽管 $G$ 中每个半径为 $r$ 的球都是 $c$-可着色的。核心思想是构造一个图，使其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形的联结。