局部可着色图的色度剖面

经典的 Andrásfai-Erdős-Sós 定理考虑了具有大最小度的 $K_{r + 1}$-free 图的色数，在 $r = 2$ 的情形下表明，任何最小度大于 $2/5 \cdot n$ 的 $n$ 顶点无三角形图都是二部的。这开启了无三角形图色度剖面的研究：对每个 $k$，怎样的最小度能保证无三角形图是 $k$-可着色的？该剖面已被广泛研究，并最终由 Brandt 和 Thomassé 确定。无三角形图恰好是每个邻域均为单色可着色的图。作为一个自然变体，Łuczak 和 Thomassé 引入了局部二部图的概念，其中每个邻域都是 2-可着色的。在此我们研究每邻域均为 $b$-可着色（局部 $b$-部图）的图族，以及每个 $a$-团的公邻域均为 $b$-可着色的图族的色度剖面。我们的结果包括这些图族的色度阈值，并表明每个最小度大于 $(1 - 1/(b + 1/7)) \cdot n$ 的 $n$ 顶点局部 $b$-部图都是 $(b + 1)$-可着色的。理解这些局部可着色图对于将 Andrásfai-Erdős-Sós 定理推广到非完全图至关重要，我们在别处对此进行了发展。