局部二部图的色剖面

1973年，Erdős 和 Simonovits 提出疑问：每个最小度大于 $1/3 \cdot n$ 的 $n$ 顶点无三角形图是否都是 3-可着色的。该问题开启了对无三角形图色剖面的研究：对每个 $k$，何种最小度能保证无三角形图是 $k$-可着色的。这一问题有着丰富的历史，最终由 Brandt 和 Thomassé 完全解决。对于一般的 $H$，关于 $H$-自由图的色剖面所知甚少。无三角形图恰好是每个邻域均为单色可着色的图。由 Luczak 和 Thomassé 首次提及的局部二部图，是无三角形图的自然变体，其中每个邻域都是二部的。本文研究局部二部图的色剖面。我们证明每个最小度大于 $4/7 \cdot n$ 的 $n$ 顶点局部二部图是 3-可着色的（$4/7$ 是紧的），且最小度大于 $6/11 \cdot n$ 的是 4-可着色的。尽管局部二部图与无三角形图的色剖面有些相似之处，但我们将看到存在显著差异。