Triangle-free $d$-degenerate graphs have small fractional chromatic number

Harris 关于任意三角形自由 $d$-退化图的分数色数至多为 $O\left(\frac{d}{\ln d}\right)$ 的著名猜想表明，任何三角形自由 $d$-退化图的分数色数至多为 $O\left(\frac{d}{\ln d}\right)$。该猜想近年来受到广泛关注，已知具有许多有趣的影响，包括 Esperet、Kang 和 Thomass\'e 的猜想：任意三角形自由图若最小度为 $d$，则包含一个最小度为 $\Omega(\log d)$ 的二分诱导子图。尽管如此，Harris 的猜想一直保持开放状态，直到现在没有人对其平凡上界进行任何改进。在本文中，我们给出了 Harris 猜想的一个优雅证明。具体地，我们证明任何三角形自由 $d$-退化图的分数色数至多为 $(4+o(1))\frac{d}{\ln d}$。Esperet 等人的猜想因此直接得到证实。我们还证明了更一般的结果，表明对于任意三角形自由图 $G$，存在一个随机独立集，其中每个顶点 $v$ 的包含概率为 $\Omega(p(v))$，其中 $p:V(G)\rightarrow [0,1]$ 为满足自然条件的任意函数。