围长为三的有向图的加强 Brooks 定理

Brooks 定理指出,最大度为 $\Delta$ 的连通图 $G$ 的色数至多为 $\Delta$,除非 $G$ 是奇圈或完全图。Johansson(1996) 的一个结果表明,若 $G$ 无三角形,则其色数降至 $O(\Delta / \log \Delta)$。在本文中,我们推导了关于有向图色数的一个弱类比结果。我们证明,每个(无自环的)有向图 $D$,若不含长度为 2 的有向圈,则当 $\tilde{\Delta}$ 充分大时,其色数满足 $\chi(D) \leq (1-e^{-13}) \tilde{\Delta}$,其中 $\tilde{\Delta}$ 是 $D$ 中顶点的出度与入度的最大几何平均。作为推论,我们证明了存在一个绝对常数 $\alpha < 1$,使得对每个 $\tilde{\Delta} > 2$,都有 $\chi(D) \leq \alpha (\tilde{\Delta} + 1)$。