Brooks定理的分式模拟

设$\Delta(G)$为图$G$的最大度。Brooks定理指出,色数$\chi(G)=\Delta(G)+1$的唯一连通图是完全图和奇圈。本文证明了Brooks定理的一个分式模拟。具体而言,我们对所有满足分式色数$\chi_f(G)$至少为$\Delta(G)$的连通图$G$进行了分类。这些图包括完全图、奇圈、$C^2_8$、$C_5\boxtimes K_2$,以及团数$\omega(G)$等于最大度$\Delta(G)$的图。在两个零星图中,图$C^2_8$是圈$C_8$的平方图,而另一个图$C_5\boxtimes K_2$是$C_5$与$K_2$的强积。实际上,我们证明了一个更强的结果:如果一个满足$\Delta(G)\geq 4$的连通图$G$不属于上述列出的图,那么我们有$\chi_f(G)\leq \Delta(G)- 2/67$。