Brooks 定理的重构类比及其推论

设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点和最大度~$\Delta$ 的简单无向图。Brooks 定理指出，除非 $G$ 是完全图或具有奇数个顶点的圈，否则 $G$ 存在 $\Delta$-着色。对 $G$ 进行重着色是指通过改变一个顶点的颜色来获得一个新的正常着色。我们证明了 Brooks 定理的一个类比：从任何 $k$-着色（$k>\Delta$）出发，除非 $G$ 是完全图、具有奇数个顶点的圈，或者 $k=\Delta+1$、$G$ 是 $\Delta$-正则图且对于 $G$ 中的每个顶点 $v$，其任意两个邻居颜色均不相同，否则可以通过仅使用原始 $k$ 种颜色的 $O(n^2)$ 次重着色序列获得 $G$ 的 $\Delta$-着色。我们利用这一结果研究 $G$ 的 $k$-着色的重构图 $R_k(G)$。$R_k(G)$ 的顶点集是 $G$ 所有可能的 $k$-着色集合，如果两种着色恰好在一个顶点上不同，则它们是相邻的。我们证明了对于 $\Delta\geq 3$，$R_{\Delta+1}(G)$ 由孤立顶点和至多一个直径为 $O(n^2)$ 的额外连通分量组成。这一结果使我们能够完成对有界最大度图的着色重构的结构分类和算法分类。