列表染色的重构

给定图 $G$ 的一个规范（列表）染色，重新染色步骤将单个顶点的颜色更改为其列表中另一种当前未在其邻居上使用的颜色，从而保持规范染色。假设每个顶点 $v$ 都有自己的私有列表 $L(v)$，且 $|L(v)|\ge \mbox{deg}(v)+1$。我们证明了如果 $G$ 是连通的且其最大度数 $\Delta$ 至少为 3，那么对于任意两个至少有一个顶点可以重新染色的规范 $L$-染色，都可以通过 $O(|V(G)|^2)$ 次重新染色步骤将其相互转换。我们还展示了将单个顶点 $w$ 的列表大小降低到 $\mbox{deg}(w)$ 后，规范 $L$-染色空间会出现“被碎片化”的情况。我们的结果可解释为显示了规范 $L$-染色图的 Glauber 动力学中出现尖锐相变。这是对 Feghali、Johnson 和 Paulusma 结果的一个“局部”强化和推广，该结果考察了列表全部相同于 $\{1,\ldots,\Delta+1\}$ 的情况。