$P_5$-自由图顶点着色重构图

对于任意正整数 $k$，表示图 $G$ 中所有 $k$ 着色的重构图，记作 $\mathcal{R}_k(G)$，是其中顶点代表 $G$ 的 $k$ 着色，两个 $k$ 着色若在恰好一个顶点上的颜色不同则相连。Bonamy 等人证明，对任意 $2$ 色 $P_5$-自由图 $G$，$\mathcal{R}_k(G)$ 在每个 $k\geq 3$ 时均连通。另一方面，Feghali 和 Merkel 证明存在一个 $7p$ 色 $P_5$-自由图 $G$，使得 $\mathcal{R}_{8p}(G)$ 不连通。本文对 $t$ 色 $P_5$-自由图 $G$ 在情况 $t=3$ 以及 $t\geq4$ 且 $t+1\leq k \leq {t\choose2}$ 时的 $\mathcal{R}_k(G)$ 连通性进行详细分类。我们证明，对每个 $3$ 色 $P_5$-自由图 $G$ 以及每个 $k \geq 4$，$\mathcal{R}_k(G)$ 均保持连通。此外，对于每个 $t\geq4$ 且 $t+1 \leq k \leq {t\choose2}$，我们提供了一个 $t$ 色 $P_5$-自由图 $G$ 使得 $\mathcal{R}_k(G)$ 不连通的构造。这是对 Feghali 和 Merkel 提出问题的解答。