关于 $k$-临界无 $P_5$ 图的一些结果

图 $G$ 称为 $k$-顶点临界图，若 $G$ 的色数为 $k$，但其每个真诱导子图的色数均小于 $k$。对图类研究 $k$-顶点临界图是算法图论中的重要课题，因为若某一给定遗传图类中此类图的数量有限，则存在多项式时间算法判定该类中的图是否为 $(k-1)$-可着色的。本文证明，对每个固定整数 $k\ge 1$，仅存在有限多个 $k$-顶点临界的无 $(P_5,\text{gem})$ 图和无 $(P_5,\overline{P_3+P_2})$ 图。为证明这些结果，我们运用了已知的 $(P_5,\text{gem})$-自由图结构定理结合 $k$-顶点临界图的性质。此外，我们利用计算机生成算法刻画了 $k \in \{4,5\}$ 时的所有 $k$-顶点临界无 $(P_5,\text{gem})$ 图和无 $(P_5,\overline{P_3+P_2})$ 图。