关于 $(P_5,\text{chair})$-free 和 $(P_5,\text{cricket})$-free 图的顶点临界性

对于图 $G, F_1$ 和 $F_2$,若 $F_1$ 或 $F_2$ 不是 $G$ 的诱导子图，则称 $G$ 为 $(F_1,F_2)$-free。若图 $G$ 的色数为 $k$，但每个proper诱导子图的色数至多为 $k-1$,则称 $G$ 为 $k$-顶点临界图。$\textit{chair}$ 图是由在路径上 $4$ 个顶点的两条中心顶点之一上添加一个 pendant 顶点而得到的 $5$ 顶点图。$\textit{cricket}$ 图是由在三角形的一个顶点上添加两个 pendant 顶点而得到的 $5$ 顶点图。记 $5$ 个顶点的路径为 $P_5$。我们证明：对于每个 $k \geq 1$,只有有限多个 $(P_5,\text{chair})$-free $k$-顶点临界图存在。我们也证明如果 $\text{chair}$ 被 $\text{cricket}$ 替代，同样结论成立。我们进一步描述了所有 $5$-顶点临界 $(P_5,\text{chair})$-free 图、所有 $5$-顶点临界 $(P_5,\text{cricket})$-free 图以及所有 $6$-顶点临界 $(P_5,\text{cricket})$-free 图。我们的证明依赖于对 antichain 大小的限制和发展 Ramsey 理论思想。对于任意固定整数 $k \geq 1$,我们的结果意味着存在一个多项式时间算法来决定 $(P_5,\text{chair})$-free（或 $(P_5,\text{cricket})$-free）图是否为 $(k-1)$-可着色，该算法还能在图不可 $(k-1)$-可着色时提供一个负的常数大小证书。