关于某些无 $P_5$ 图的色数

设 $G$ 为一个图。若对 $G$ 的每个诱导子图 $H$，$V(H)$ 可划分为 $A$ 和 $B$，使得 $H[A]$ 是完美图且 $\omega(H[B])<\omega(H)$，则称 $G$ 为完美可分的。我们用 $P_t$ 和 $C_t$ 分别表示含 $t$ 个顶点的路和圈。对于两个不相交的图 $F_1$ 和 $F_2$，我们用 $F_1\cup F_2$ 表示顶点集为 $V(F_1)\cup V(F_2)$、边集为 $E(F_1)\cup E(F_2)$ 的图，用 $F_1+F_2$ 表示顶点集为 $V(F_1)\cup V(F_2)$、边集为 $E(F_1)\cup E(F_2)\cup \{xy\;|\; x\in V(F_1)\mbox{ and } y\in V(F_2)\}$ 的图。本文中，我们证明：(i) $(P_5, C_5, K_{2, 3})$-自由图是完美可分的；(ii) 若 $G$ 是 $\omega(G)\ge 2$ 的 $(P_5, K_{2,3})$-自由图，则 $\chi(G)\le 2\omega^2(G)-\omega(G)-3$；(iii) 若 $G$ 是 $(P_5, K_1+2K_2)$-自由图，则 $\chi(G)\le {3\over 2}(\omega^2(G)-\omega(G))$；(iv) 若 $G$ 是 $(P_5, K_1+(K_1\cup K_3))$-自由图，则 $\chi(G)\le 3\omega(G)+11$。