部分 $(P_2\cup P_4)$-免费图的着色问题

我们将顶点数为 $t$ 的路径记为 $P_t$，将顶点数为 $t$ 的环记为 $C_t$。对于两个顶点互斥的图 $G_1$ 和 $G_2$，其{\em 并} $G_1\cup G_2$ 是具有 $V(G_1\cup G_2)=V(G_1)\cup V(G_2)$ 和 $E(G_1\cup G_2)=E(G_1)\cup E(G_2)$ 的图。{\em 金刚石}（即{\em 金刚石}）是由一个 $P_3$（即$P_4$）及一个与其所有顶点相邻的新顶点构成的图；{\em 蝴蝶}是由两个共享一个顶点的两个三角形构成的图。本文证明，如果 $G$ 是 $(P_2\cup P_4$, 金刚石)-免费图，则 $\chi(G)\le 3\omega(G)-2$；如果 $G$ 是 $(P_2\cup P_4$, 蝴蝶)-免费图，则 $\chi(G)\le \frac{\omega(G)^2+3\omega(G)-2}{2}$。我们还研究 $(P_2\cup P_4$, 金刚石)-免费图的类，证明对于此类图 $G$，若 $\omega(G)=2$ 则 $\chi(G)\le4$，若 $\omega(G)=3$ 则 $\chi(G)\le7$，若 $\omega(G)=4$ 则 $\chi(G)\le9$，若 $\omega(G)\ge 5$ 则 $\chi(G)\le2\omega(G)-1$。此外，我们证明若 $G$ 是 $(P_2\cup P_4$, 金刚石, $C_5$)-免费且 $\omega(G)\ge5$，则 $G$ 为完美图。