(P2∪P4, C3)-自由图的结构、完美可分性与着色

Goedgebeur 和 Schaudt [J. Graph Theory 87 (2018) 188-207] 猜想所有 4-顶点临界的 $(P_7,C_3)$-自由图都属于族 $\cal G$，该族由七个明确定义的图组成。在本文中，我们为 $(P_2\cup P_4,C_3)$-自由图建立了结构分解，并证明该猜想对此类图成立。因此，我们确定了 $(P_2\cup P_4, C_3)$-自由图的色数。如果对于 $G$ 的每个诱导子图 $H$，$V(H)$ 可以被划分为 $A$ 和 $B$，使得 $H[A]$ 是完美的且 $\omega(H[B])<\omega(H)$，则称图 $G$ 是{\em 完美可分的}。{\em 公牛图}是由一个三角形和两条不相交的悬挂边组成的图。注意，$(P_2\cup P_4, C_3)$-自由图类是 ($P_2\cup P_4$, bull)-自由图类的子类。在本文中，我们证明了一个 ($P_2\cup P_4$, bull)-自由图是完美可分的当且仅当它不包含 Mycielski-Gr\"otzsch 图。这推广了 Deng 和 Chang [Graphs Combin. (2025) 41: 63] 的主要结果。