若干无冠图的染色

设 $G$ 与 $H$ 为两个顶点不交的图。{\em 并图} $G\cup H$ 是指满足 $V(G\cup H)=V(G)\cup (H)$ 与 $E(G\cup H)=E(G)\cup E(H)$ 的图。{\em 联图} $G+H$ 是指满足 $V(G+H)=V(G)+V(H)$ 与 $E(G+H)=E(G)\cup E(H)\cup\{xy\;|\; x\in V(G), y\in V(H)\}$ 的图。我们用 $P_k$ 表示具有 $k$ 个顶点的{\em 路}，用{\em fork}表示由 $K_{1,3}$ 通过将一条边细分一次所得的图，并用{\em crown}表示图 $K_1+K_{1,3}$。本文中，我们证明：（1）若 $G$ 是（crown, $P_5$）自由的，则 $\chi(G)\le\frac{3}{2}(\omega^2(G)-\omega(G))$；（2）若 $G$ 是（crown, fork）自由的，则 $\chi(G)\le\frac{1}{2}(\omega^2(G)+\omega(G))$；（3）若 $G$ 是（crown, $P_3\cup P_2$）自由的，则 $\chi(G)\le\frac{1}{2}\omega^2(G)+\frac{3}{2}\omega(G)+1$。