给定边数的无 F 图谱极值的扩展

若图 $G$ 不含 $F$ 作为子图，则称 $G$ 为 $F$-free 图。记 $\mathcal{G}(m, F)$ 为边数为 $m$ 且无孤立点的 $F$-free 图族。记 $S_{n,k}$ 为由将 $K_{k}$ 的每个顶点连接到 $n-k$ 个孤立顶点得到的图，记由 $S_{n-t,k}$ 在其最大度顶点上挂 $t$ 个 pendant 顶点得到的图为 $S_{n,k}^{t}$。记 $H_{n}$ 为由 $n-1$ 顶点的路径外加一个与路径每个顶点相邻的顶点构成的扇形图。特别地，$H_{5}$ 亦称作心形图（gem）。张正庆和王晓晨[离散数学 347(2024)114171]以及余铮、李浩和彭亮[arXiv: 2404.03423]证明：每个边数为 $m$ 的无心形图 $G$ 满足 $\rho(G)\leq \rho(S_{\frac{m+3}{2},2})$。本文进一步证明：若 $G\in \mathcal{G}(m, H_{5})\setminus S_{\frac{m+3}{2},2}$ 为奇数大小 $m\geq23$ 的图，则 $\rho(G)\leq \rho(S_{\frac{m+5}{2},2}^{2})$，且等号成立当且仅当 $G\cong S_{\frac{m+5}{2},2}^{2}$。