论 $\{H(3,3),~H(4,3)\}$-free 图的最大谱半径

设 $G$ 为具有 $m$ 条边的简单连通图。设 $A$ 为 $G$ 的邻接矩阵，$\rho(G)$ 为 $G$ 的谱半径。如果图 $G$ 不包含与 $H$ 同构的子图，则称其为 $H$-free 图。设 $H(\ell,3)$ 为由一个长度为 $\ell$ 的环和一个三角形共享一个公共顶点构成的图。最近，Li, Lu 和 Peng [Y. Li, L. Lu, Y. Peng, Spectral extremal graphs for the bowtie, Discrete Math. 346(12) (2023) 113680.] 证明了当 $m\ge 8$ 时，唯一的 $m$-边 $H(3,3)$-free 谱极值图是 $K_2$ 与一个包含 $\frac{m-1}{2}$ 个顶点的独立集的联图，且条件 $m\ge 8$ 是紧的。特别地，如果 $G$ 不包含作为导出子图的 $H(3,3)$，他们证明了 $\rho(G) \leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$，且当 $G$ 与 $S_{\frac{m+3}{2},2}$ 同构时等号成立。注意 Li 等人将 $H(3,3)$ 记为 $F_2$。在本文中，我们求出了所有边数为奇数 $m$（$m\geq 259$）的 $\{H(3,3), H(4,3)\}$-free 图中的最大谱半径，并确定了具有最大谱半径的图。巧合的是，我们证明了当 $G$ 同时禁用 $H(3,3)$ 和 $H(4,3)$ 时，$\rho(G) \leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$。在我们的情形下，当 $G$ 与同一个图同构时等号成立。