谱半径至多为 $3/2\sqrt{2}$ 的图的直径

图 $G$ 的谱半径 $\rho(G)$ 是其邻接矩阵的最大特征值。Woo 和 Neumaier 发现，满足 $\rho(G)\leq 3/2{\sqrt{2}}$ 的连通图 $G$ 要么是 dagger，要么是 open quipu，要么是 closed quipu。其逆命题不成立。许多 open quipu 和 closed quipu 的谱半径大于 $3/2{\sqrt{2}}$。在本文中，我们证明了以下结果。对于任意具有 $n$ 个顶点（$n\geq 6$）且谱半径小于 $3/2{\sqrt{2}}$ 的 open quipu $G$，其直径 $D(G)$ 满足 $D(G)\geq (2n-4)/3$。该界是紧的。对于任意具有 $n$ 个顶点（$n\geq 13$）且谱半径小于 $3/2{\sqrt{2}}$ 的 closed quipu $G$，其直径 $D(G)$ 满足 $\frac{n}{3}< D(G)\leq \frac{2n-2}{3}$。该上界是紧的，而下界是渐近紧的。设 $G^{min}_{n,D}$ 为在所有具有 $n$ 个顶点且直径为 $D$ 的连通图中具有最小谱半径的图。我们应用这些结果并求出了某些 $D$ 范围内的 $G^{min}_{n,D}$。对于 $n\geq 13$ 且 $D\in [\frac{n}{2}, \frac{2n-7}{3}]$，我们证明了 $G^{min}_{n,D}$ 是通过将长度分别为 $D-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 和 $D-\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 的两条路径附加到偶环 $C_{2(n-D)}$ 的一对对踵顶点上所得到的图。从而我们解决了 Cioab-van Dam-Koolen-Lee 的一个猜想，他们此前证明了 $D=\frac{n+e}{2}$（$e=1,2,3,4$）的特殊情形。