关于度偏差的谱半径紧上界

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图。$G$ 的谱半径 $\rho(G)$ 是 $G$ 的邻接矩阵的最大特征值。如人所知，$\rho(G)\geq\frac{2m}{n}$，当且仅当 $G$ 为正则图时等号成立。为界定 $\rho(G)-\frac{2m}{n}$，Nikiforov（2006）引入了 $G$ 的度偏差 $$s(G)=\sum_{1\leq i\leq n}|d_{i}-\frac{2m}{n}|,$$ 其中 $d_{1},d_{2},\ldots,d_{n}$ 为 $G$ 的顶点度。Nikiforov 猜想 $\rho(G)-\frac{2m}{n}\leq\sqrt{\frac{1}{2}s(G)}$ 对充分大的 $m$ 和 $n$ 成立。本文在不假设 $m$ 和 $n$ 充分大的条件下证明了该猜想。