谱 Turán 定理的变体与图的特征向量

2002 年，Nikiforov 证明了对于具有团数 $\omega$ 和边数 $m$ 的 $n$ 顶点图 $G$，其谱半径 $\lambda(G)$ 满足 $\lambda (G) \leq \sqrt{2(1 - 1/\omega) m}$，从而证实了 Edwards 和 Elphick 隐含提出的猜想。在本文中，我们证明了谱 Turán 不等式的局部版本，即 $\lambda^2(G)\leq 2\sum_{e\in E(G)}\frac{c(e)-1}{c(e)}$，其中 $c(e)$ 是 $G$ 中包含边 $e$ 的最大团的阶数。我们还刻画了极值图。我们证明了我们的定理蕴含 Nikiforov 的定理，并给出一个例子表明在某些情况下 Nikiforov 界与我们界的差异为 $\Omega (\sqrt{m})$。此外，我们建立了 Ore 问题 (1962) 的谱对应物，该问题询问使得其补图连通且不包含 $F$ 作为子图的 $n$ 顶点图的最大尺寸。我们的结果导出了适用于补图连通图的新谱 Turán 不等式。最后，我们反驳了 Gregory 的一个猜想，该猜想断言对于具有色数 $k\geq 2$ 和独立集 $S$ 的连通 $n$ 顶点图 $G$，有 $$\sum_{v\in S} x_v^2 \leq \frac{1}{2} - \frac{k-2}{2\sqrt{(k-2)^2 + 4(k-1)(n-k+1)}},$$ 其中 $x_v$ 是 $G$ 的 Perron 向量关于顶点 $v$ 的分量。我们提出了 Gregory 猜想的修正版本。