色彩关键图的谱超饱和

若图通过删除一条边后其染色数减小，则称其为色彩关键图。包括cliques和奇数环在内的此类图在极端图论中扮演核心角色。本文沿袁伯特-尼基福罗夫(Bollobás-Nikiforov)所致的一条有影响力的研究路径，研究色彩关键图的谱超饱和问题。设 $T_{n,r}$ 为 $r$ 部格子图，设 $\mathcal{T}_{n,r,q}$ 表示从 $T_{n,r}$ 中添加 $q$ 条边得到的图族，设 $\lambda(G)$ 为图 $G$ 的谱半径。我们首先证明，对任意色彩关键图 $F$，若其染色数为 $r+1$，则存在 $\delta_F > 0$，使得当 $n$ 足够大且 $1 \leq q \leq \delta_F \sqrt{n}$ 时，任意 $n$ 顶点图 $G$ 若满足 $\lambda(G) \ge \min_{T \in \mathcal{T}_{n,r,q}} \lambda(T)$，则 $G$ 包含至少 $q \cdot c(n,F)$ 个 $F$ 的拷贝，其中 $c(n,F)$ 表示在 $T_{n,r}$ 上添加一条边所创建的最少 $F$ 的拷贝数量;此外，任意极端图 $G$ 必须属于 $\mathcal{T}_{n,r,q}$。接着，我们证明了针对类似条件 $\lambda(G) \ge \max_{T \in \mathcal{T}_{n,r,q}} \lambda(T)$ 的谱超饱和结果，对所有 $1 \leq q \leq \delta_F n$ 有效。这些结果共同提供了对宁宁-赞希(Ning-Zhai)提出问题的完整解决，并在极端超饱和情境中建立了对穆巴伊(Mubayi)和皮赫库尔ko-Yilma 的 well-known 结果的谱对应。我们第一个结果的一个显著特点是限制 $q = O(\sqrt{n})$ 相对于给定常数的上限是紧致的，与上述讨论的其他setting 提供的线性界限形成鲜明对比。作为应用，我们推广了刘-穆巴伊(Liu-Mubayi) 的结果，解决了李-鲁-彭(Li-Lu-Peng) 的一个相关猜想。