再论Nosal谱定理：书图与4-圈
组合数学
2026-04-10 v1
摘要
谱图论研究图的特征值如何与图的结构性质相关联。本文解决了谱极值图论中三个推广了经典Turán型超饱和结果的开放问题。(a) 我们证明，每个具有m条边且谱半径λ(G) > √m的图G至少包含(1/144)√m个共享一条公共边的三角形。这一结果证实了Nikiforov以及Li和Peng的猜想。此外，该界在常数因子意义下是最优的。(b) 其次，对于具有m条边且λ(G) > √((1-1/r)2m)的图G，我们证明它必定包含Ω_r(√m)个共享r个公共顶点的K_{r+1}副本。这证实了Li、Liu和Feng的猜想，并统一了一系列关于书图和团的谱极值结果。此外，我们还证明这样的图G包含Ω_r(m^{(r-1)/2})个K_{r+1}副本。这推广了Ning和Zhai关于三角形计数的结果。(c) 我们证明每个具有m条边且λ(G) > √m的图G至少包含(1/8−o(1))m^2个4-圈副本，并提供两个构造表明常数1/8是最优的。这一结果解决了Ning和Zhai提出的一个问题，并首次给出了计数退化二部图的渐近结果。我们证明的关键在于我们为具有大谱半径的图获得的两个关于其最大度和大型结构化子图存在性的结构结果，我们相信这些结果具有独立的研究意义。
引用
@article{arxiv.2508.14366,
title = {More on Nosal's spectral theorem: Books and $4$-cycles},
author = {Yongtao Li and Hong Liu and Shengtong Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.14366},
year = {2026}
}
备注
23 pages, 1 table. Some spectral extremal graph problems are proposed for interested readers. Any suggestions are welcome