计数子结构与特征值 II：四边形

设 $G$ 为一个图，$\lambda(G)$ 为 $G$ 的谱半径。Nikiforov [Linear Algebra Appl., 2009] 在谱图论中的一个先前结果断言：若 $\lambda(G)>\sqrt{m}$，则每个具有 $m\geq 10$ 条边的图 $G$ 包含一个 4-圈。定义 $f(m)$ 为此类图中 4-圈副本的最小数量。Zhai 等人 [European J. Combin., 2021] 最近一个定理的推论表明 $f(m)=\Omega(m)$。在本文中，通过若干不同的技巧，我们证明 $f(m)=\Theta(m^2)$。我们将 $\lim\limits_{m\rightarrow \infty} \frac{f(m)}{m^2}$ 的求解留作一个问题，并提及用于进一步研究的其他问题。