关于某些图的边数

1975年，P. Erd\H{o}s提出了确定具有 $n$ 个顶点的图中最大边数 $f(n)$ 的问题，其中任意两个圈长度不同。序列 $(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ 是阶为 $n$ 的图 $G$ 的圈长分布，其中 $c_i$ 为 $G$ 中长度为 $i$ 的圈的个数。令 $f(a_1,a_2,\cdots, a_n)$ 表示满足 $c_i\leq a_i$（$a_i$ 为非负整数）的图中可能的最大边数。1991年，Shi提出了确定 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的问题，它推广了Erd\H{o}s的问题，显然有 $f(n)=f(1,1,\cdots,1)$。令 $g(n,m)=f(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，当所有 $i/m$ 为整数时 $a_i=1$，当所有 $i/m$ 不为整数时 $a_i=0$。显然 $f(n)=g(n,1)$。我们证明了 $\liminf_{n \to \infty} {f(n)-n \over \sqrt n} \geq \sqrt {2 + \frac{40}{99}}$，这优于先前的界 $\sqrt 2$（Shi, 1988）、$\sqrt {2 + \frac{7654}{19071}}$（Lai, 2017）。我们证明了对于所有偶数 $m$ 有 $\liminf_{n \rightarrow \infty} {g(n,m)-n\over \sqrt \frac{n}{m}} > \sqrt {2.444}$。我们提出如下猜想：$\liminf_{n \to \infty} {f(n)-n \over \sqrt n} > \sqrt {2.444}$。