关于受限火柴棍图的边数

顶点为平面上的点且边为单位长度不相交直线段的图称为 \emph{火柴棍图}。我们证明了关于此类图在两种不同场景下边数最大值的两个略显反直觉的结果。首先，我们证明存在常数 $c>0$，使得每个具有 $n$ 个顶点的无三角形火柴棍图至多有 $2n-c\sqrt{n}$ 条边。该结论对于任何 $c>\sqrt2$ 均不成立。我们还证明，对于任意 $r>0$，存在常数 $\varepsilon(r)>0$，使得每个包含于半径为 $r$ 的圆盘内且具有 $n$ 个顶点的火柴棍图至多有 $(2-\varepsilon(r))n$ 条边。