关于外 k-平面图的最大边数

我们研究了在平面内连接处于凸位置的 $n$ 个点的直线段的最大数量，使得每条线段最多与 $k$ 条其他线段相交。这个问题也可以表述为具有 $n$ 个顶点的外 $k$-平面图的最大边数。我们概述了解决该问题的几种方法，其中最好的方法得出了 $(\sqrt{2}+\varepsilon)\sqrt{k}n$ 条边的上界（当 $k$ 足够大时 $\varepsilon \rightarrow 0$）。我们进一步研究了点被任意二着色且线段总是连接不同颜色点的情况（即相应的图必须是二部图）。为此，我们还考虑了循环图 $C_n^{1,2,\dots,r}$ 的最大割问题，该问题可能具有独立的研究价值。