向上平面图的页数亚线性界

有向无环图 $G$ 的页数是指存在 $G$ 的一个拓扑序以及对边的一种 $k$ 着色，使得同色两边不交叉（即沿拓扑序具有交替端点）的最小 $k$ 值。我们着手解决一个长期存在的开放问题：所有向上平面图的最大页数是多少。我们将已知最佳下界提升至 $5$，并给出了相对于平凡 $O(n)$ 上界的首次渐近改进，其中 $n$ 表示 $G$ 的顶点数。具体而言，我们首先证明每个向上平面图的页数以其宽度和高度界定。然后结合两种方法证明每个 $n$ 顶点向上平面图的页数为 $O(n^{2/3} \log(n)^{2/3})$。