具有少量斜率的图绘制

图 $G$ 的“斜率数”是在平面上对 $G$ 作直线 drawings 时边所用不同斜率的最小数量。我们证明：对 $\Delta\geq5$ 及所有充分大的 $n$，存在一个 $\Delta$-正则的 $n$-顶点图，其斜率数至少为 $n^{1-\frac{8+\epsilon}{\Delta+4}}$。这是关于有界度图斜率数的最佳已知下界。我们证明了完全二部图斜率数的上界与下界。我们给出了任意图斜率数关于其带宽的一般上界。由此可知，区间图、余可比图与无 AT 图的斜率数至多为最大度的一个函数。我们证明了有界度且有界树宽的图，其斜率数至多为 $O(\log n)$。最后我们证明每个图都有一种每边至多一个弯的绘制，其中斜率数至多大出最大度一。在 companion paper (http://arxiv.org/abs/math/0606450) 中，也考虑了具有少量斜率的平面图绘制。