障碍、斜率与井字棋：离散几何与组合博弈论的一次漫游

如果图$G$的顶点由平面上不同的点表示，且每条边由连接对应顶点对且不经过$G$中任何其他顶点的直线段表示，则称该图的画法为{\em 直线画法}。$G$的直线画法中的最小斜率数称为$G$的斜率数。我们证明，每个三次图都可以仅使用四个基本斜率$\{0,\pi/4,\pi/2,-\pi/4\}$用直线边画在平面上。我们还证明，当且仅当我们可以用这四个斜率画出$K_4$时，它们才具有此性质。给定图$G$，$G$的{\em 障碍表示}是一组表示$G$顶点的平面点集，以及一组障碍（连通多边形），使得$G$的两个顶点由一条边连接当且仅当对应的点可以被一条避开所有障碍的线段连接。$G$的{\em 障碍数}是$G$的障碍表示中的最小障碍数。我们证明存在$n$个顶点的图，其障碍数为$\Omega({n}/{\log n})$。我们证明存在$m=2n+o(n)$，使得在$\Z^d$上进行的Maker-Breaker博弈中，Maker需要将他的至少$m$个标记连续放置在$n$个给定获胜方向之一中，Breaker可以使用配对策略迫使平局。这改进了Kruczek和Sundberg的结果，他们表明如果$m\ge 3n$，则存在这样的配对策略。一个简单的论证表明，如果Breaker只允许使用配对策略，则$m$必须至少为$2n+1$，因此我们界的主项是最优的。