具有最大跨度数的最大 1 平面图
组合数学
2025-08-15 v1
摘要
平面上对图的绘制若每条边最多仅跨越一次，则称为 1 平面 (1-planar)。由图及其 1 平面绘制组成的图称为 1 平面图。若 1 平面图 G 的边数恰为 4|V(G)|-8，则称其为 optimal。图 G 的跨越数 cr(G) 指所有图的绘制中跨越次数的最小值。Czap 和 Hudák 证明，对任意 1 平面图 G，cr(G) ≤ |V(G)|-2，且当 G 为 optimal 1 平面图时等式成立 [The Electronic J. Comb}, 20(2),#P54 (2013)]。本文旨在刻画实现最大跨越数 |V(G)|-2 的 maximal 1 平面图 G。我们首先引入准 optimal 1 平面图的类，作为 optimal 1 平面图的推广，然后证明对任意 maximal 1 平面图 G，cr(G)=|V(G)|-2 当且仅当 G 为准 optimal 1 平面图。此外，我们证明每个准 optimal 1 平面图都是 maximal 1-planar（而非仅 drawing-saturated）。最后，我们给出主要结果的若干应用，包括驳斥关于奇次数顶点 maximal 1 平面图跨越数上界的假设。
引用
@article{arxiv.2508.10488,
title = {Maximal 1-plane graphs with the maximum number of crossings},
author = {Zhangdong Ouyang and Yuanqiu Huang and Licheng Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.10488},
year = {2025}
}
备注
14 pages and 4 figures