极大1-平面图密度的改进

如果一个图可以画在平面上使得每条边至多被交叉一次，则该图是1-平面的。一个图连同其1-平面画法被称为1-平面。Brandenburg等人证明存在仅有 $\frac{45}{17}n + O(1)\approx 2.647n$ 条边的极大1-平面图，以及仅有 $\frac{7}{3}n+O(1)\approx 2.33n$ 条边的极大1-平面图画。另一方面，他们证明极大1-平面图至少有 $\frac{28}{13}n-O(1)\approx 2.15n-O(1)$ 条边，而极大1-平面图画至少有 $2.1n-O(1)$ 条边。我们将两个下界均改进为 $\frac{20n}{9}\approx 2.22n$。