1-平面图类中的一个极值问题

图 $G=(V,E)$ 称为 1-平面图，如果它存在一种平面绘制使得每条边至多被交叉一次。本文研究具有给定部集顶点数的二部 $1$-平面图。已知二部 1-平面图至多具有 $3n-8$ 条边，其中 $n$ 表示图的阶。我们证明，几乎平衡的极大尺寸二部 1-平面图具有的边数并未显著少于该上界所指出的数量，而对于不平衡的图则不然。我们证明，一个部集远小于另一个部集的二部 1-平面图的最大可能尺寸趋向于 $2n$ 而非 $3n$。特别地，我们证明如果较小部集的大小在 $n$ 中是次线性的，则 $|E|=(2+o(1))n$，反之则不成立。