最优 2-平面与 3-平面图的边划分

拓扑图是画在平面上的图。若每条边至多被交叉 $k$ 次，则称拓扑图为 $k$-平面图（$k>0$）。我们研究将 $k$-平面图的边划分使得每个部分集构成结构更简单图的问题。尽管该问题在 $k=1$ 时已有研究，我们关注具有最大密度的最优 $2$-平面图与 $3$-平面图。我们证明如下结果。(i) 不可能将简单最优 $2$-平面图的边划分为一个 $1$-平面图和一个森林；而 (ii) 总存在一个由 $1$-平面图和两个平面森林组成的边划分，且可在线性时间内算出。(iii) 我们描述了高效算法，将简单最优 $2$-平面图的边划分为一个 $1$-平面图和一个最大顶点度为 $12$ 的平面图，或者若最优 $2$-平面图的无交叉边构成无分离三角形的图，则最大顶点度为 $8$ 的平面图。(iv) 我们展示了一族无穷的简单最优 $2$-平面图，使得在任意由 $1$-平面图和一个平面图组成的边划分中，平面图的最大顶点度至少为 $6$，且 $1$-平面图的最大顶点度至少为 $12$。(v) 我们证明，每个无交叉边构成双连通图的最优 $3$-平面图可在线性时间内分解为一个 $2$-平面图和两个平面森林。