完全二部图的拓扑绘图

拓扑绘图是图在平面中的自然表示，其中顶点由点表示，边由连接点的曲线表示。完全图与完全二部图的拓扑绘图在交叉数问题的背景下已被广泛研究。我们考虑一类自然的简单拓扑绘图：要求顶点集二部划分的一侧位于绘图的外边界上。我们研究此类绘图的组合性质。为此，我们通过枚举同构于 $K_{2,2}$ 和 $K_{3,2}$ 的子图的不同绘图来定义绘图的组合编码，并研究它们必须满足的约束。我们证明 $K_{k,n}$ 的绘图存在当且仅当编码满足某些简单的局部条件。这直接给出了给定编码时判定此类绘图是否存在的多项式时间算法。我们表明该编码等价于指定哪些边对交叉，从而产生了针对抽象拓扑图可实现性的类似多项式时间算法。我们还完全刻画并枚举了 $K_{k,n}$ 中位于二部划分同侧的顶点周边边顺序相同的此类绘图。最后，我们研究了使用直线和伪线绘制 $K_{k,n}$ 的情形，并考虑了相应可实现性问题的复杂性。