正则二部图随机子图中的完美匹配

考虑将图$G$的边按随机顺序逐条加入的随机过程。一个经典结论指出，若$G$为完全图$K_{2n}$或完全二部图$K_{n,n}$，则典型情况下完美匹配出现于最后一个孤立顶点消失之时。我们将此结论推广到$2n$个顶点上的任意$k$-正则二部图$G$，对所有$k = \omega \left( \frac{n}{\log^{1/3} n} \right)$成立。令人惊讶的是，对于更小的$k$值情况并非如此。利用Goel、Kapralov和Khanna给出的构造，我们证明存在二部$k$-正则图，其中最后一个孤立顶点消失远早于完美匹配出现。