graphs 与二部图中的完美匹配与距离谱半径

图 $G$ 中的完美匹配是覆盖 $G$ 每个顶点的一组互不相邻的边。受近期关于图的特征值与匹配数之间关系研究的启发，本文旨在给出保证完美匹配存在的距离谱半径条件。设 $G$ 是一个 $n$ 个顶点的连通图，其中 $n$ 为偶数，$\lambda_{1}(D(G))$ 为 $G$ 的距离谱半径。则以下结论成立。\noindent$\rm{I)}$ 若 $4\le n\le10$ 且 ${\lambda }_{1} (D\left(G\right))\le {\lambda }_{1} (D(S_{n,{\frac{n}{2}}-1}))$，则 $G$ 含有完美匹配，除非 $G\cong S_{n,{\frac{n}{2}-1}}$，其中 $S_{n,{\frac{n}{2}-1}}\cong K_{{\frac{n}{2}-1}}\vee ({\frac{n}{2}+1})K_1$。\noindent$\rm{II)}$ 若 $n\ge 12$ 且 ${\lambda }_{1} (D\left(G\right))\le {\lambda }_{1} (D(G^*))$，则 $G$ 含有完美匹配，除非 $G\cong G^*$，其中 $G^*\cong K_1\vee (K_{n-3}\cup2K_1)$。此外，若 $G$ 是一个连通的 $2n$ 个顶点的平衡二部图，且 $\lambda_{1}(D(G))\le \lambda_{1}(D(B_{n-1,n-2}))$，则 $G$ 含有完美匹配，除非 $G\cong B_{n-1,n-2}$，其中 $B_{n-1,n-2}$ 是由 $K_{n,n-2}$ 通过在 $n$ 顶点部分中的一个顶点上附加两个悬挂顶点得到。