边环的正则性与匹配数

设 $K[G]$ 为定义在 $[d]$ 上的有限连通简单图 $G$ 的边环，$\mat(G)$ 为 $G$ 的匹配数。我们证明了：若 $G$ 为非二部图且 $K[G]$ 正规，则 $\reg(K[G]) \leq \mat(G)$；若 $G$ 为二部图，则 $\reg(K[G]) \leq \mat(G) - 1$。