关于图的边理想的正则性

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的图，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ 为域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 元多项式环，$I(G)$ 表示 $G$ 的边理想。对于每个包含 $K_2$ 的连通图族 $\mathcal{H}$，我们引入了 $\ind-match_{\mathcal{H}}(G)$ 和 $\min-match_{\mathcal{H}}(G)$ 的概念。我们将证明不等式 $\ind-match_{\{K_2, C_5\}}(G)\leq{\rm reg}(S/I(G))\leq\min-match_{\{K_2, C_5\}}(G)$ 成立。此外，我们证明如果 $G$ 是围长至少为 5 的 Cohen--Macaulay 图，那么 ${\rm reg}(S/I(G))=\ind-match_{\{K_2, C_5\}}(G)$。进一步地，我们证明如果 $G$ 是无爪且双重 Cohen--Macaulay 的图，那么 ${\rm reg}(S/I(G))=\ind-match_{\{K_2, C_5\}}(G)$ 当且仅当 $G$ 的每个连通分量要么是完全图，要么是 5-圈图。在其他结果中，我们证明了对于每个双重 Cohen--Macaulay 单纯复形，等式 ${\rm reg}(\mathbb{K}[\Delta])={\rm dim}(\mathbb{K}[\Delta])$ 成立。