边理想小次幂的积分闭包及其正则性

设 $I(G)$ 为简单图 $G$ 在域 k 上的边理想。我们证明对所有 $s \le 4$ 有 $${\rm reg}(\overline {I(G)^s}) = {\rm reg}(I(G)^s).$$ 此外，我们给出一个图 $G$ 的例子，使得对所有 $s \ge 1$ 有 $${\rm reg} I(G)^s = {\rm reg} \overline{I(G)^s} = {\rm reg} I(G)^{(s)} = \begin{cases} 5 + 2s & \text{ if char k} = 2 \\ 4 + 2s & \text{ if char k} \neq 2, \end{cases}$$