图的边理想的小符号幂的正则性

设 $G$ 为具有边理想 $I(G)$ 的图，令 $I(G)^{(s)}$ 表示 $I(G)$ 的第 $s$ 个符号幂。证明了对每个整数 $s\geq 1$，$${\rm reg}(I(G)^{(s+1)})\leq \max\bigg\{{\rm reg}(I(G))+2s, {\rm reg}\big(I(G)^{(s+1)}+I(G)^s\big)\bigg\}.$$由此得出 ${\rm reg}(I(G)^{(2)})\leq {\rm reg}(I(G))+2$，且 ${\rm reg}(I(G)^{(3)})\leq {\rm reg}(I(G))+4$。此外，证明若对某个整数 $k\geq 1$，图 $G$ 不含长度不超过 $2k-1$ 的奇圈，则对每个整数 $s\leq k+1$ 有 ${\rm reg}(I(G)^{(s)})\leq 2s+{\rm reg}(I(G))-2$。最后，证明若补图 $\overline{G}$ 为弦图，则对 $s\in \{2, 3, 4\}$ 有 ${\rm reg}(I(G)^{(s)})=2s$。