加权有向图边理想符号幂的比较

设 $D$ 为加权有向图，$I(D)$ 为其边理想。若 $D$ 含有长度为 $2n+1$ 的诱导奇圈，在某些条件下我们证明 ${I(D)}^{(n+1)} \neq {I(D)}^{n+1}$。我们给出了含每条边均位于其某个诱导奇圈中的加权有向图，其边理想的普通幂与符号幂相等的充要条件。我们刻画了具有唯一奇圈的加权自然定向单圈图与加权自然定向偶圈，其边理想的普通幂与符号幂相等的条件。设 $D^{\prime}$ 为将 $D$ 中具非平凡权且为汇点的顶点权重替换为平凡权后得到的加权有向图。我们证明 $I(D)$ 与 $I(D^{\prime})$ 的符号幂具有相似的性质。最后，若 $D$ 为任意加权有向星图，我们证明对所有 $s \geq 2$ 有 ${I(D)}^{(s)} = {I(D)}^s$。