带权有向图符号幂与通常幂的正则性及其上界

本文中，我们比较带权有向图边理想的符号幂与通常幂的正则性。对任意带权有向完全图 $K_n$，我们证明对所有 $k\geq 1$ 有 $\reg(I(K_n)^{(k)})\leq \reg(I(K_n)^k)$。同时，对任意 $k\geq 1$，我们给出 $\reg(I(K_n)^{(k)})$ 与 $\reg(I(K_n)^{k})$ 的显式公式。作为推论，我们证明 $\reg(I(K_n)^{(k)})$ 最终是 $k$ 的线性函数。对任意带权有向图 $D$，若 $V^+$ 为汇点，则我们证明 $\reg(I(D)^{(k)}) \leq \reg(I(D)^k)$ 对 $k=2,3$ 成立，并研究了等号情形。此外，我们用 $\reg(I(D)^{(2)})$ 及 $D$ 的某些诱导子图的正则性给出 $\reg(I(D)^2)$ 的公式。最后，我们比较带权有向图 $D$ 与 $D'$ 的符号幂正则性，其中 $D'$ 由 $D$ 添加一个悬挂点得到。