有限图的诱导匹配数与边理想

设 $G$ 是顶点集 $V(G) = \{x_1, \ldots, x_n\}$ 上的有限简单图，$I(G) \subset K[V(G)]$ 为其边理想，其中 $K[V(G)]$ 是域 $K$ 上关于 $x_1, \ldots, x_n$ 的多项式环，每个 ${\rm deg} x_i = 1$，且 $I(G)$ 由那些对应于 $G$ 的边的平方自由二次单项 $x_ix_j$ 生成。在本文中，给定整数 $1 \leq a \leq r$ 和 $s \geq 1$，构造存在有限连通简单图 $G = G(a, r, d)$，满足 ${\rm im}(G) = a$、${\rm reg}(R/I(G)) = r$ 以及 ${\rm deg} h_{K[V(G)]/I(G)} (\lambda) = s$，其中 ${\rm im}(G)$ 是 $G$ 的诱导匹配数，$h_{K[V(G)]/I(G)} (\lambda)$ 是 $K[V(G)]/I(G)$ 的 $h$-多项式。