某些图的广义二项式边理想的 v-数

设 $G$ 为有限连通简单图，$\mathcal{J}_{K_m,G}$ 表示其广义二项式边理想。通过研究 $\mathcal{J}_{K_m,G}$ 的商理想，我们推导了关于空割集的 $\mathcal{J}_{K_m,G}$ 的局部 $\mathrm{v}$-数公式。此外，我们对广义二项式边理想具有 $\mathrm{v}$-数 $1$ 或 $2$ 的图进行了分类。当 $G$ 为连通闭图时，通过推广 Dey 等人的工作，我们计算了 $\mathcal{J}_{K_2,G}$ 的局部 $\mathrm{v}$-数。此外，在 $G$ 为 Cohen--Macaulay 环的条件下，我们推导了 $\mathcal{J}_{K_m,G}$ 和 $\mathcal{J}_{K_2,G}^k$ 的 $\mathrm{v}$-数公式，并证明了 $\mathcal{J}_{K_2,G}^k$ 的 $\mathrm{v}$-数是 $k$ 的线性函数。