二项边理想的深度与极值Betti数

设 $G$ 为顶点集 $[n]$ 上的简单图，$J_G$ 为相应的二项边理想。设 $G=v*H$ 为 $v$ 在 $H$ 上的锥。本文中用 $J_H$ 的 Betti 数计算出 $J_G$ 的所有 Betti 数，并由此得到轮图的 Betti 图表。此外，我们根据 $S_H/J_H$ 的 Cohen-Macaulay 亏格研究 $S/J_G$ 的 Cohen-Macaulay 亏格，并利用此构造出对任意 $q\geq 1$ 具有 Cohen-Macaulay 亏格 $q$ 的图。我们得到了图的并的二项边理想的深度。同时，我们证明了对任意满足 $1\leq b< r$ 的正整数对 $(r,b)$，存在连通图 $G$ 使得 $reg(S/J_G)=r$ 且 $S/J_G$ 的极值 Betti 数的个数为 $b$。