边理想的深度与有限图的顶点连通性

设 $G$ 为定义在 $[n]:=\{1, \ldots, n\}$ 上的有限图，$\kappa(G)$ 为其顶点连通性。设 $S=K[x_1, \ldots, x_n]$ 表示域 $K$ 上的 $n$ 变量多项式环，$I(G^c)$ 为 $G$ 的补图 $G^c$ 的边理想。经典结果表明 ${\rm depth} S/I(G^c) \leq \kappa(G) + 1$。我们给出了 ${\rm depth} S/I(G^c)$ 关于 $n$ 和 $\kappa(G)$ 的一个精确下界。此外，还给出了 ${\rm depth} S/I(G^c)^2$ 以及 ${\rm depth} S/I(G^c)^{(2)}$ 关于 $n$ 和 $\kappa(G)$ 的精确下界。