与图相关的理想的深度、Stanley深度及正则性

设$\mathbb{K}$为域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$为$\mathbb{K}$上的$n$元多项式环。设$G$为具有$n$个顶点的图。假设$I=I(G)$是$G$的边理想，$J=J(G)$是其覆盖理想。我们证明${\rm sdepth}(J)\geq n-\nu_{o}(G)$且${\rm sdepth}(S/J)\geq n-\nu_{o}(G)-1$，其中$\nu_{o}(G)$是$G$的有序匹配数。我们还证明了当$G$为二部图时，对每个整数$k\gg 0$，有不等式${\rm sdepth}(J^k)\geq {\rm depth}(J^k)$和${\rm sdepth}(S/J^k)\geq {\rm depth}(S/J^k)$。此外，我们为已知不等式${\rm reg}(S/I)\leq \nu_{o}(G)$提供了一个初等证明。